题目

设x₁，x₂，…，x₁₂是任意互异的12个整数，试证明其中一定存在8个整数x₁，x₂，…，x₈，使得：（x₁-x₂）×（x₃-x₄）×（x₅-x₆）×（x₇-x₈）恰是1155的倍数．

提问时间：2021-01-11

答案

对1155分解质因数得1155=3×5×7×11．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x₁，x₂，则（x₁-x₂）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x₃，x₄，则（x₃-x₄）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x₅，x₆，则（x₅-x₆）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x₇，x₈，则（x₇-x₈）是3的倍数．
故存在8个数x₁，x₂，x₈，使（x₁-x₂）（x₃-x₄）（x₅-x₆）（x₇-x₈）是1155的倍数．