题目

Sn=1^2+2^2+.n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6
怎么证明啊?

提问时间：2021-01-11

答案

证明如下：**非数学归纳法证明**
已知n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^2-3(n-2)+1
…………
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
等式左边相加等于等式右边相加,即：
n^3=3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2)-3(1+2+3+……+n)+1*n
设1^2+2^2+3^2+……+n^2=A,又1+2+3+……+n=n*(n+1)/2代入上式,
得n^3=3A-3n*(n+1)/2+n
化简上面式子,得A=n(n+1)(2n+1)/6,即：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
本题的证明方法不是由数学归纳法证明的,而是由过程推出的.
数学归纳法只能证明前式等于后式,而不能由前式推出后式.
由此可以得出1^3+2^3+3^3+……+n^3的前n项和公式,
也能推出1^4+2^4+3^4+……+n^4的公式,
当然也就推出了1^x+2^x+3^x+……+n^x(x∈Z)的通式.