题目

已知x+y+z,xy+yz+zx和xyz都是整数,证明：x^n+y^n+z^n是整数(n是任意的自然数).

提问时间：2021-01-10

答案

由韦达定理x,y,z是方程t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+xz)t-xyz=0的三个根
带入x并将两边乘以x^n得 x^(n+3)-(x+y+z)x^(n+2)+(xy+yz+zx)x^(n+1)-xyzx^n=0
对于y和z可以得到同样的式子,将三式相加合并同次项,利用已知x+y+z,xy+yz+zx和xyz都是整数,可递归证得x^n+y^n+z^n是整数