题目

在椭圆x^2/16 +y^2/4=1中,经过点（2,1）且被此点平分的弦所在的直线方程是?

提问时间：2021-01-10

答案

利用点斜式法：
设弦所在直线的方程y=k(x-2)+1,显然k 存在且不等于0,将椭圆X^2/16+Y^2/4=1与直线方程联立,消去y得到
二次方程：x^2+4[kx+(1-2k)]^2=16
化简得：(1+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+4(1-2k)^2-16=0
由于p(2,1)是椭圆内部的点,所以直线一定与椭圆有两个交点,方程的判别式一定大于0.
利用方程的根与系数的关系有：x1+x2=-8k(1-2k)/(1+4k^2)
由弦被p点平分,则x1+x2=4
-8k(1-2k)/(1+4k^2)= 4
解得：k=-1/2
所求方程为：
y=-1/2(x-2)+1
化简为：
x+2y-4=0