题目
在四棱锥P-ABCD中,三角形PBC为正三角形,AB垂直平面PBC.AB平行CD,AB=12DC,E为PD的中点.
求证AE垂直PDC
求证AE垂直PDC
提问时间:2021-01-10
答案
令PC的中点为F.
∵PF=CF、PE=DE,∴由三角形中位线定理,有:FE∥CD,且FE=CD/2.
又BA∥CD、BA=CD/2,∴FE=BA、且FE∥BA,∴ABFE是平行四边形,∴AE∥BF.
∵AB⊥平面PBC,∴BA⊥BF,而BA∥CD,∴BF⊥CD.
∵△PBC是正三角形,又PF=CF,∴BF⊥PC.
由BF⊥CD、BF⊥PC、PC∩CD=C,得:BF⊥平面PDC,结合证得的AE∥BF,得:
AE⊥平面PDC.
∵PF=CF、PE=DE,∴由三角形中位线定理,有:FE∥CD,且FE=CD/2.
又BA∥CD、BA=CD/2,∴FE=BA、且FE∥BA,∴ABFE是平行四边形,∴AE∥BF.
∵AB⊥平面PBC,∴BA⊥BF,而BA∥CD,∴BF⊥CD.
∵△PBC是正三角形,又PF=CF,∴BF⊥PC.
由BF⊥CD、BF⊥PC、PC∩CD=C,得:BF⊥平面PDC,结合证得的AE∥BF,得:
AE⊥平面PDC.
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