题目

1.等差数列an的S15=m,对于n∈N+,都有an＞a(n+1),且a2,a8是x^2-12x+m=0的两根,则an的公差为?
2.若双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b＞0)右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于实轴长,则渐近线方程为?
3.已知f(x)=|lg x|,若0＜a＜b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围为?
d=-2这个解不行吗？

提问时间：2021-01-10

答案

1.等差数列an的S15=m,对于n∈N+,都有an＞a(n+1),且a2,a8是x^2-12x+m=0的两根,
则an的公差为?
a₂+a₈=（a₁+d）+（a₁+7d）=2a₁+8d=2(a₁+4d)=2a₅=12 ,故a₅=6.
a₂a₈=(a₅-3d)(a₅+3d)=a₅²-9d²=36-9d²=m
S₁₅=15a₁+105d=15(a₁+7d)=15a₈=15(a₅+3d)=15(6+3d)=90+45d=m
故有36-9d²=90+45d
9d²+45d+54=0
即 d²+5d+6=(d+2)(d+3)=0,故d=-2或d=-3.
2.若双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b＞0)右支上存在点P,满足|PF₂|=|F₁F₂|,且F₂到直线PF₁的距离等于实轴长,则渐近线方程为?
|PF₂|=|F₁F₂│＝2c
故△PF₁F₂是等腰三角形,设其底边PF₁上的高为h=│F₂D│=2a,且其垂足D平分
PF₁.由于│PF₁│-│PF₂│=2a,故│PF₁│=2a+2c=2(a+c)
在RT△F₁F₂D中F₁F₂=2c,│F₂D│=2a,│DF₁│=│PF₁│/2=a+c.
故有 4c²=4a²+(a+c)²,即3c²-2ac-5a²=0
两边同除以a²,即得3e²-2e-5=(3e-5)(e+1)=0
故e=5/3.
于是(b/a)²=(c²-a²)/a²=e²-1=25/9-1=16/9,b/a=±4/3
故渐近线方程为 y=±(4/3)x.
3.已知f(x)=|lg x|,若0＜a＜b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围为?
显然,0