题目

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c 的值域是[0，+∞），则

a

a2+1

+

c

c2+1

 的最大值是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

提问时间：2021-01-10

答案

因为二次函数f（x）=ax²+2x+c的值域为[0，+∞），
所以

a>0 △＝4−4ac＝0

⇒ac=1⇒c=

1

a

，
所以

a

a2+1

+

c

c2+1

=

a

a2+1

+

1 a

( 1 a )2+1

=

2a

a2+1

≤

2a

2a

＝1 
（当且仅当a=1时取等号）
则

a

a2+1

+

c

c2+1

 的最大值是1
故选：A

由于二次函数f（x）=ax²+2x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把

1

c+1

+

9

a+9

转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意数形结合思想的运用．是中档题．