题目

用数学归纳法证明：（m+1)^n-nm-1能被M^2整除（其中m为整数,N属于N*）
RT

提问时间：2021-01-10

答案

1).n=1时,原式=0.0能被m^2整除.
(2).n>=2时,设n=k(k>=2)时原结论成立:(m+1)^k-km-1能被m^2整除.
则当n=k+1时,
原式=(m+1)^(k+1)-(k+1)m-1
=(m+1)(m+1)^k-(m+1)(km+1)+(m+1)(km+1)-km-m-1
=(m+1)[(m+1)^k-km-1]+(km^2+km+m+1)-km-m-1
=(m+1)[(m+1)^k-km-1]+km^2
根据假设(m+1)^k-km-1能被m^2整除,那么(m+1)[(m+1)^k-km-1]也就能被m^2整除.显然km^2能被m^2整除.所以这两项的和能被m^2整除.就是说n=k+1时结论成立.
由（1）、（2）可知对一切自然数n,原结论(m+1)^n-nm-1能被m^2整除都成立