题目

一道简单的微分方程题
设边值问题,y"+ay=0,y(0)=y(1)=0,讨论λ取值,使方程有非零解.

提问时间：2021-01-10

答案

（这里的a就是λ吧）
考虑y"+ay=0的特征方程t^2+a=0,有三种情况：
(1)a0,此时特征方程有两个虚根±i√a,所以微分方程的通解为y=c1*sin(x√a)+c2*cos(x√a),c1,c2为任意常数.由边值条件y(0)=0知c2=0；由y(1)=0知c1*sin(√a)+c2*cos(√a)=0.有两种情况：
(i)sin(√a)≠0,则可解得c1=c2=0,所以此时边值问题只有零解；
(ii)sin(√a)=0,则解为c2=0,c1为任意常数.所以此时边值问题的解为y=c1*sin(x√a),c1为任意常数.
综上所述,原边值问题有非零解当且仅当a>0且sin(√a)=0,即a=(kπ)^2,k为整数,k≠0.