题目
数列an,a1=2,an=2a(n-1)+2n次(n≥2)
(1)求证数列an/2n是等差数列
(2)求数列an的前n项和Sn
(3)若bn=2n-1/an,求证数列bn为递减数列
(1)求证数列an/2n是等差数列
(2)求数列an的前n项和Sn
(3)若bn=2n-1/an,求证数列bn为递减数列
提问时间:2021-01-10
答案
a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)sn+2n(n€N*)
(1) 先求a1:
n=1,
∴ a1=2
(2)利用递推式:
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②:
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n
以上回答你满意么?
(1) 先求a1:
n=1,
∴ a1=2
(2)利用递推式:
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②:
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n
以上回答你满意么?
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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