题目

若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为______．

提问时间：2021-01-09

答案

设切点为（x₀，x₀lnx₀），
对y=xlnx求导数，得y′＝(xlnx)′＝lnx+x•

1

x

＝lnx+1
∴切线的斜率k=lnx₀+1，
故切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
整理得y=（lnx₀+1）x-x₀，
与y=2x+m比较得

lnx0+1＝2 −x0＝m

，
解得x₀=e，故m=-e．
故答案为：-e

设切点为（x₀，x₀lnx₀），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx₀+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx₀+1）x-x₀，对照已知直线列出关于x₀、m的方程组，解之即可得到实数m的值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题．