题目

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)
已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1,f(1))的切线方程为y=x-1
(1)用a表示出b,c
(2)若f(x)>=lnx在[1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围

提问时间：2021-01-09

答案

(1)f'(x)=a-b/x²
f'(1)=a-b=1
b=a-1
直线过点（1,0）
0=a+b+c=a+a-1+c
c=1-2a
(2)设g(x)=ax+b/x+c-lnx
g'(x)=a-b/x²-1/x
=a-(a-1)/x²-lnx
令g'(x)=0
a-(a-1)/x²-1/x=0
(-ax-a-1)*(-x+1)=0
x=-(a+1)/a或x=1
因为x属于[1,正无穷）
所以x=1
因为,当x大于1时,g'(x)恒大于0
所以当x=1时,g(x)有最小值,为0
所以g(x)大于等于0恒成立
所以f(x)大于等于lnx恒成立