题目
设n是正整数,如果在包含2009在内的2n+1个连续的正整数中,前n+1个数的平方和等于后n个数的平方和,求n的值
提问时间:2021-01-09
答案
假设从X-1开始【为了后面2N项壹壹对应的方便】的2N+1个数,有:
(X-1)² + X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² = (X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)²
即有末N项-往前N项=第一项:
(X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)² - [ X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² ] = (X-1)²
即有N项壹壹对应:
[ (X+N)² - X² ] + [ (X+N+1)² - (X+1)² ] + …… + [ (X+2N-1)² - (X+N-1)² ]
= (2X+N)*N + (2X+N+2)*N + …… + (2X+3N-2)*N
= N * [2*N*X + (N + N+2 + N+4 + …… + 3N-2) ]
= N * [2*N*X + (2N-1)N ]
= N²* [2X + (2N-1) ] = (X - 1)²
显然,[2X + (2N-1) ]必是完全平方数,令[2X + (2N-1) ] = T² ,有
N² * T² = (X - 1)²
N *T = X - 1
X = NT + 1
将此X的形式代入[2X + (2N-1) ] = T² :
2NT + 2 + 2N - 1 = T² 化简整理得:
T² - 2N *T - (2N + 1) = 0
解得T = 2N + 1,T = -1(舍弃)
因此有:
X = N*(2N+1) + 1 = 2N² + N + 1
因此由2009在此2N+1个数范围内,得到不等式:
2N² + N≤ 2009 ≤2N² + N + 1+2N-1
即 2N² + N≤ 2009 ≤2N² + 3N
解得唯一的整数解N = 31,则X = 1954
即从X-1=1953开始的2N+1=63个数,前32个数的平方和等于后31个数.
(X-1)² + X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² = (X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)²
即有末N项-往前N项=第一项:
(X+N)² + (X+N+1)² + …… + (X+2N-1)² - [ X² + (X+1)²+ …… + (X+N-1)² ] = (X-1)²
即有N项壹壹对应:
[ (X+N)² - X² ] + [ (X+N+1)² - (X+1)² ] + …… + [ (X+2N-1)² - (X+N-1)² ]
= (2X+N)*N + (2X+N+2)*N + …… + (2X+3N-2)*N
= N * [2*N*X + (N + N+2 + N+4 + …… + 3N-2) ]
= N * [2*N*X + (2N-1)N ]
= N²* [2X + (2N-1) ] = (X - 1)²
显然,[2X + (2N-1) ]必是完全平方数,令[2X + (2N-1) ] = T² ,有
N² * T² = (X - 1)²
N *T = X - 1
X = NT + 1
将此X的形式代入[2X + (2N-1) ] = T² :
2NT + 2 + 2N - 1 = T² 化简整理得:
T² - 2N *T - (2N + 1) = 0
解得T = 2N + 1,T = -1(舍弃)
因此有:
X = N*(2N+1) + 1 = 2N² + N + 1
因此由2009在此2N+1个数范围内,得到不等式:
2N² + N≤ 2009 ≤2N² + N + 1+2N-1
即 2N² + N≤ 2009 ≤2N² + 3N
解得唯一的整数解N = 31,则X = 1954
即从X-1=1953开始的2N+1=63个数,前32个数的平方和等于后31个数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1燃放烟花爆竹的危害
- 2如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆,则这个半圆的面积是_.
- 3已知函数f(x)=ax²+bx+c中,a+b+b=0,a>b>c.证明函数f(x)有两个不同的零点
- 42个向量先乘怎么计算,A=(1,2)B=(-1,2)C=(1,3)求A×(B×C)=?
- 5填上合适的节日名称
- 6谁能给我查一些关于琴和知音的成语?
- 7如图所示,某一用直流电动机提升重物的装置,重物的质量为50kg,电源电压为1l0V保持不变,电动机线圈的电
- 8如何使用万用表测试二极管的好坏或判别正、负极性
- 9动物可分成那几种
- 10我国第一艘载人航天飞船是(),第一个飞上太空的宇航员是谁
热门考点
- 1第2道
- 2DNA分子中双链中腺嘌呤碱基的含量为何等于单链中的A+T
- 3a²+2a+1过程
- 4求你们帮帮忙我是新手没积分对不起了.
- 5莫怀戚 散步的主要内容
- 6有一个成语是形容 想得到的东西往往得不到 实际总是差理想很多 例子 一个人想成为千万富翁.到头来还是身无分文.怎么形容他?
- 7There are flew people _____( live )in that city.
- 83M=5N { 2M-3N=1
- 9把一块长3米 宽2米的长方形铁皮,平均分成9份,每份的面积是多少平方米
- 10一只猎狗发现前方20米处有个兔子,于是追赶,已知,狗的三步相当于兔子的九步,兔子反应灵敏,三步的时间相当于狗两步的时间,求:狗追到兔子时间是多少?看到这个题目 一头雾水啊 要是变成狗跑多远能追到兔子