题目

已知x1.x2是二次方程x^2-(a+d)x+ad-bc=0的两个实根 证明：x1^3 x2^3是方程y^2-(a^3+d^3+3adc+3bcd)y+
(ad-bc)^3=0的两个实根

提问时间：2021-01-09

答案

x1＋x2=a＋d,x1x2=ad－bc
则：x1³＋x2³=(x1＋x2)[(x1＋x2)²－3x1x2]=(a＋d)[(a＋d)²－3(ad－bc)]=(a＋d)[a²－ad＋d²＋3bc]=a³－a²d＋ad²＋3abc＋a²d－ad²＋d³＋3bcd=a³＋d³＋3abc＋3bcd
(x1³)(x2³)=(x1x2)³=(ad－bc)³
从而,x1³、x2³是方程y²－(a³＋d³＋3abc＋3bcd)＋(ad－bc)³=0的根