题目

1、若abc≠0,试证：方程ax^2+bx+c/4=0,bx^2+cx+a/4=0,cx^2+ax+b/4=0中至少有一个方程有实根.
2、已知不等式ax^2+bx+c＞0的解为α＜x＜β（0＜α＜β）,求不等式cx^2+bx+a＞0的解.
3、已知f(x)=ax^2+bx+c的图像过点（-1,0）,问是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切实数x都成立?

提问时间：2021-01-09

答案

1,证明：△1=b^2-ac
△2=c^2-ab
△3=a^2-bc
若abc≠0,△1+△2+△3=[（a-b）^2+（b-c）^2+（a-c）^2]/2≥0恒成立
则△1,△2,△3必有一个≥0,即至少有一个方程有实根.
2,由题意知a＜0,α+β=-b/a＞0,α*β=c/a＞0,即b＞0,c＜0,且b^2-4ac＞0
不等式cx^2+bx+a＞0,△=b^2-4ac＞0,有解,有c＜0
设cx^2+bx+a=0解为x1,x2,
x1+x2=-b/c=（α+β）/α*β=1/α+1/β
x1*x2=a/c=1/α*β
则x1=1/α＞x2=1/β
则不等式解为1/β＜x＜1/α
3,带入（-1,0）,得a-b+c=0
f(x)≥x对一切实数x都成立,
即ax^2+（b-1）x+c≥0恒成立
则a＞0,（b-1）^2-4ac＜0
f(x)≤(x^2+1)/2对一切实数x都成立
则