题目

矩形ABCD中,AB=6,BC=2根号3 ,沿对角线BD将△ABD向上至A1 ,且使A 1在平面BCD内的射影O在DC上.
（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求：二面角A 1—BC—D的正切值.
（3）求：直线CD与平面A1BD所成角的正弦值.

提问时间：2021-01-09

答案

设A1在面BCD的射影为K
1.
证明：因为A1K⊥面BCD,且BC在面BCD内
所以A1K⊥BC
而DK⊥BC,DK∩A1K=K
所以BC⊥面A1DK
从而BC⊥A1D
又因为A1D⊥A1B,A1B∩BC=B
所以A1D⊥面A1BC
2.因为CK⊥BC,BC=面A1BC∩面BCD
所以二面角A 1—BC—D为角A1CK
设DK=x,
A1K=√(A1D²-DK²)=√(12-x²)
BK=√(A1B²-A1K²)=√(36-12+x²)=√(24+x²)
由BK²=CK²+BC²得
24+x²=(6-x)²+12
x=2
于是二面角A1-BC-D的正切值为tanA1CK=A1K/CK=2√2/4=√2/2
3.
用等体积法
V(A1BCD)=1/3*A1K*S(三角形BCD)=1/3*d*S(三角形A1BD),其中d是C到面A1BD的距离
而三角形BCD和三角形A1BD的面积相等
所以d=A1K=2√2
则所求正弦值=2√2/CD=2√2/6=√2/3