题目

已知数列{an}中,a1=1,anan+1=(1/2)^n 求数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列

提问时间：2021-01-09

答案

a1a2=1/2 a2=(1/2)/a1=1/2
a2a3=(1/2)^2 a3=(1/2)^2/a2=1/2
a3a4=(1/2)^3 a4=(1/2)^3/(1/2)=(1/2)^2
a4a5=(1/2)^4 a5=(1/2)^4/(1/2)^2=(1/2)^2
…………
数列是双数列,按1,1/2,1/2,1/2^2,1/2^2,1/2^3,1/2^3,……排列.
(这个结论可以用数学归纳法证明,从略).
奇数项：1、1/2、1/2^2、1/2^3、……
偶数项：1/2、1/2^2、1/2^3、……
a2=1/2 a(2n)=1/2^(2n/2)=1/2^n a[2(n+1)]=1/2^(n+1) a[2(n+1)]/a(2n)=1/2,为定值.
数列{a(2n)}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
a1=1 a(2n-1)=1/2^[2(n-1)/2]=1/2^(n-1) a[2(n+1)-1]=1/2^n a[2(n+1)-1]/a(2n-1)=1/2,为定值.
数列{a(2n-1)}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.
结论成立.