题目

如图，已知AD∥BC，CD⊥AD于D点，交BC于C，点E是CD上一点．

（1）若AE=BE，∠AEB=90°，求证：AD+BC=CD；
（2）若AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，求证：AD+BC=AB．

提问时间：2021-01-09

答案

（1）证明：∵AD∥BC，CD⊥AD于D点，
∴∠D=∠C=90°．
∵∠EAD+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠EAD=∠BEC．
在△AED和△EBC中，

∠EAD＝∠BEC ∠D＝∠C AE＝BE

，
∴△AED≌△EBC（AAS），
∴AD=EC，DE=BC．
∵DE+EC=CD，
∴AD+BC=CD；
（2）证明：如图：作EF⊥AB于F，，
∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC，
∴∠EAD=∠EAF，∠EBF=∠EBC．
又∵EF⊥AB于F，
∴DE=EF=EC．
在Rt△ADE和Rt△AFE中，

AE＝AE ED＝EF

，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴AD=AF．
在Rt△EBF和Rt△EBC中，

EB＝EB EF＝EC

，
∴Rt△EBF≌Rt△EBC（HL），
∴BF=BC．
∵AF+FB=AB，
∴AD+BC=AB．

（1）根据垂线的性质，可得∠D=∠C=90°，根据余角的性质，可得∠EAD=∠BEC，根据全等三角形的判定与性质，可得AD=EC，DE=BC，根据线段的和差，等式的性质，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得DE=EF=EC，根据HL，可得Rt△ADE≌Rt△AFE，△EBF≌Rt△EBC，根据全等三角形的性质，可得AD与AF的关系，BF与BC的关系，根据线段的和差，可得答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．