题目

康托对角线法证明不可数
集合A = 形式为0.a1 a2 a3 a4 的小数,a(n) = 3,4,5,6 或7,且如果n为偶数,an > a(n+1),且如果n为奇数,an < a(n+1).请用康托对角线法证明集合A不可数.

提问时间：2021-01-08

答案

对角线法是常用的,至于康托对角线法是个什么法,不清楚……对角线法一般是这么证明的：如果A可数,那么把A列出来（A={A1,A2,...},每个Ai是一个无限小数）,那么我们可以找到一个A中的元素x,永远不被列到.对于奇数位,如果An(n)>=4,那么令x(n)=3；如果An(n)=3,令x(n)=4.对于偶数位,总可以取到不等于An(n),3和4的一个数字.这样,x属于A,而且x(n)不等于An(n)所以x不等于任意一个An.完毕.
当然我觉得最直观的证明是这样的：
证明A不可数：首先A包含如此的子集：偶数位为6或7,奇数位为3或4.然后这个子集可以1-1映射到形式为0.0111011101...这样的只有0和1的无穷小数（偶数位如果是6就映到0,如果是7就映成1,奇数位类似）,而这相当于二进制的[0,1]区间（事实上比0-1区间还多一些东西,多了一些尾数1循环的东西）,后者不可数.因此A不可数.