题目

1.arctanx-artany的绝对值小于等于X-Y的绝对值
2.e的X次大于等于ex
证明不等式微积分
e的X次大于等于ex提示构造辅助函数F(x)=e的X次-ex,证明F(1)=0是函数的最小值

提问时间：2021-01-08

答案

1.设f(x)=arctanx,则在定义域内满足拉格朗日中值定理:
即一定存在一个ξ∈(x,y),使得f(ξ)’=[f(x)-f(y)]/(x-y),即f(x)-f(y)=(x-y)*f(ξ)’
∵f(ξ)’=1/(1+ξ2),注:( arctanx)’=1/(1+x2)
又∵f(ξ)’≤1
∴|f(x)-f(y)|=|(x-y)| *|f(ξ)’|≤|(x-y)|
2.泰勒级数展开:
e^x=e^(x0)+ [e^(x0)]*(x-x0)+1/2*[e^(ξ)]* (x-x0)^2.其中ξ∈(x,x0)
令x0=1,则e^x= e* x+1/2*[e^(ξ)]* (x-1)^2.
∵1/2*[e^(ξ)]* (x-1)^2≥0,∴e^x≥e* x