题目

设a+b＞0a≠b,n∈N,n≥2,用数学归纳法证明（a+b/2)^n＜（a^n+b^n)/2

提问时间：2021-01-08

答案

∵a+b＞0a≠b
第一步,当n=1时,不等式显然成立.
第二步,假设n=k时,不等式成立.即有(a^k+b^k)/2>[(a+b/2)]^k
那么,两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立.
第三步,由一和二可知,n=1时成立,则n=2时成立,则n=3时成立……类推,对任意n不等式都成立