题目

求证：在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．

提问时间：2021-01-08

答案

证明：作DE⊥BA于点E，CF⊥AB交AB的延长线于F，则∠AED=∠BFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠CBF，
在△ADE和△BCF中，

∠DEA＝∠CFB ∠DAE＝∠CBF AD＝BC

，
∴△ADE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，DE=CF．
在Rt△DBE和Rt△CAF中，由勾股定理，得
AC²=AF²+CF²=CF²+（AB+AE）²，
BD²=DE²+BE²=CF²+（AB-AE）²，
AD²=AE²+DE²，CB²=BF²+CF²，
则AC²+BD²=CF²+AB²+AE²+2AB•AE+CF²+AB²-2AB•AE+AE²
=（CF²+AE²）+（CF²+AE²）+AB²+AB²
=AB²+BC²+CD²+DA²．
故AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．

作DE⊥BA于点E，CF⊥AB交AB的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ADE≌△BCF，得出DE=CF，AE=BF，由勾股定理得AC²=AF²+CF²=CF²+（AB+AE）²，BD²=DE²+BE²=CF²+（AB-AE）²，AD²=AE²+DE²，CB²=BF²+CF²，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²．

本题考点：平行四边形的性质；勾股定理．

考点点评：此题主要考查学生对勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．