题目
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF.
(1)感悟以下解题方法,并完成填空:
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合.由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°,即∠GAF=∠______.
又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌______∴______=EF,故DE+BF=EF
(2)方法迁移:如图2,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=
∠DAB,试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.
(1)感悟以下解题方法,并完成填空:
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合.由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°∵∠1=∠2∴∠1+∠3=45°,即∠GAF=∠______.
又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌______∴______=EF,故DE+BF=EF
(2)方法迁移:如图2,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=
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提问时间:2021-01-08
答案
(1)将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,
由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点G,B,F在同一条直线上,
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°,
即∠GAF=∠EAF,
又AG=AE,AF=AF,
∴△GAF≌△EAF(SAS),
∴GF=EF,
故DE+BF=EF;
故答案为:EAF,△EAF,GF;
(2)如图,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG,
由旋转可得,AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,
∵∠EAF=
∠DAB,
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=
∠BAD,
∴∠HAF=∠EAF,
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°,
∴点H、B、F三点共线,
在△AEF和△AHF中,
,
∴△AEF≌△AHF(SAS),
∴EF=HF,
∵HF=BH+BF,
∴EF=DE+BF.
由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点G,B,F在同一条直线上,
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°,
即∠GAF=∠EAF,
又AG=AE,AF=AF,
∴△GAF≌△EAF(SAS),
∴GF=EF,
故DE+BF=EF;
故答案为:EAF,△EAF,GF;
(2)如图,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG,
由旋转可得,AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,
∵∠EAF=
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∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=
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∴∠HAF=∠EAF,
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°,
∴点H、B、F三点共线,
在△AEF和△AHF中,
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∴△AEF≌△AHF(SAS),
∴EF=HF,
∵HF=BH+BF,
∴EF=DE+BF.
(1)根据图形和推理过程填空即可;
(2)将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG,根据旋转的性质可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,再求出∠HAF=∠EAF,再判断出点H、B、F三点共线,然后利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=HF,再根据HF=BH+BF等量代换即可得证.
(2)将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABHG,根据旋转的性质可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,再求出∠HAF=∠EAF,再判断出点H、B、F三点共线,然后利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=HF,再根据HF=BH+BF等量代换即可得证.
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质;翻折变换(折叠问题).
本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换的性质,读懂题目信息,理解题目提供的证明思路和方法是解题的关键,也是本题的难点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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