题目

acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c（ab≠0,α-β≠kπ,k∈Z）,则cos（α-β）=?答案是2c²/（a²+b²）-1

提问时间：2021-01-08

答案

acosα+bsinα=c
根号(a²+b²)(cosαcosθ+sinαsinθ)=根号(a²+b²)cos(α-θ)=c
同样的acosβ+bsinβ=c
根号(a²+b²)(cosβcosθ+sinβsinθ)=根号(a²+b²)cos(β-θ)=c
cos(α-β)=cos[(α-θ)-(β-θ)]=cos(α-θ)cos(β-θ)+sin(α-θ)sin(β-θ)
因为α-β≠kπ,所以sin(α-θ)=-sin(β-θ),
所以cos(α-θ)cos(β-θ)+sin(α-θ)sin(β-θ)=c²/(a²+b²)-[1-c²/(a²+b²)]=2c²/(a²+b²)-1