题目

设A为n阶非零实矩阵,A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵.证明：A可逆

提问时间：2021-01-08

答案

A为非零矩阵 所以A的秩>0
假设A不可逆 则A的秩=r(A)+r(B)-n可知 0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n
=r(A*)-1 从而r(A*)0 从而r(A*)=1 于是r(AT)=r(A)=r(A*)=1 从而n=2 这个时候验证一下就知道不存在这样的A
(2)A的秩 r(A)