题目

错位相减法求和：求和：S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1．

提问时间：2021-01-07

答案

由题可知，{（2n-1）x^n-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x^n-1}的通项之积．
∵S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1，
∴xSn＝x+3x2+…+(2n−3)xn−1+（2n-1）xⁿ，
两式相减得（1-x）S_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ，
①当x≠1，0时，由等比数列的求和公式得：（1-x）S_n=-1+

2(1−xn)

1−x

-（2n-1）xⁿ，
∴Sn＝

(2n−1)xn+1−(2n+1)xn+(1+x)

(1−x)2

；
②当x=1时，S_n=1+3+5+…+（2n-1）=

n(1+2n−1)

2

=n²．
③当x=0时，S_n=1+0=1．

对x分类讨论，利用“错位相减法”和等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式即可得出．

本题考点：数列的求和．

考点点评：熟练掌握分类讨论思想、“错位相减法”、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键．