题目

已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x²+y²=9上任意两个不同的点，且满足

AC

•

BC

=0，设P为弦AB的中点，

（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-01-07

答案

（1）连接CP，由

AC

•

BC

=0，知AC⊥BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=

1

2

|AB|，由垂径定理知|OP|²+|AP|²=|OA|²即|OP|²+|CP|²=9（4分）设点P（x，y），
有（x²+y²）+[（x-1）²+y²]=9化简，得到x²-x+y²=4（8分）
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y²=2px上，其中

p

2

=1，
∴p=2，故抛物线方程为y²=4x（10分）由方程组

y2=4x x2-x+y2=4

得x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4（12分）
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2，故满足条件的点存在的，其坐标为（1，-2）和（1，2）（14分）

（1）先由条件求得AC⊥BC以及|CP|=|AP|=|BP|=

1

2

|AB|，再利用垂径定理得|OP|²+|CP|²=9整理即可求得点P的轨迹T的方程；
（2）条件转化为求轨迹T与一抛物线是否有交点问题，把两个方程联立求解即可得出结论．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合；轨迹方程．

考点点评：本题涉及到求轨迹方程问题．在求轨迹方程时，一般都是利用条件找到一个关于动点的等式，整理即可求出动点的轨迹方程．