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题目
已知矩形ABCD,AB=1,BC=
2
.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(  )
A. 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B. 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C. 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D. 对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

提问时间:2021-01-07

答案
如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC=
2
,AE=CF=
6
3
,BE=EF=FD=
3
3

A,若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC,从而BD⊥EC,这与已知矛盾,排除A;
B,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD⊥平面ABC,平面ABC⊥平面BCD
取BC中点M,连接ME,则ME⊥BD,∴∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于BC的中点时,直线AB与直线CD垂直,故B正确;
C,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除C
D,由上所述,可排除D
故选 B
先根据翻折前后的变量和不变量,计算几何体中的相关边长,再分别筛选四个选项,若A成立,则需BD⊥EC,这与已知矛盾;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上,可证明位于BC中点位置,故B成立;若C成立,则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的;D显然错误

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