题目

已知函数f(x)=2x+1/x+1
（1）试证明函数在区间[1,4]上位增函数
（2）求函数在区间[1,4]上的最大值、最小值

提问时间：2021-01-07

答案

(1)f(x)=2-1/x+1
设1≤x1＜x2≤4
f(x1)-f(x2)=2-1/(x1+1)-〔2-1/（x2+1)〕=-1/(x1+1)+1/(x2+1)
=(x1-x2)/(x1x2+x1+x2+1)
x1＜x2,所以x1-x2＜0；有题设1≤x1＜x2≤4,所以x1x2x1x2+x1+x2+1＞0,因此(x1-x2)/(x1x2+x1+x2+1)＜0,也就是f(x1)-f(x2)＜0
f(x1)＜f(x2),为增函数
(2)函数为增函数,所以当x=4时函数值最大,为9/5,当x=1时函数值最小,为
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