题目
f(x)=ax-lnx,是否存在实数a,使f（x）在区间（0,e]的最小值是3 若存在 求a
提问时间：2021-01-07
答案
设存在满足条件的a.
∵f（x）＝ax－lnx,∴f′（x）＝a－1/x,f″（x）＝1/x^2＞0.
∵f（x）在定义域范围内有最小值.
令f′（x）＝a－1/x＝0,得：1/x＝a,∴x＝1/a,∴f（x）在x＝1/a处有最小值.
∴f（1/a）＝1－ln（1/a）＝3,∴ln（1/a）＝－2,∴lna＝2,∴a＝e^2.
∴存在满足条件的a,且a＝e^2.
∵f（x）＝ax－lnx,∴f′（x）＝a－1/x,f″（x）＝1/x^2＞0.
∵f（x）在定义域范围内有最小值.
令f′（x）＝a－1/x＝0,得：1/x＝a,∴x＝1/a,∴f（x）在x＝1/a处有最小值.
∴f（1/a）＝1－ln（1/a）＝3,∴ln（1/a）＝－2,∴lna＝2,∴a＝e^2.
∴存在满足条件的a,且a＝e^2.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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