题目

如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点M沿AB方向从A向B以2cm/秒的速度移动，点N从D沿DA方向以1cm/秒的速度移动，如果M、N两点同时出发，移动的时间为x秒（0≤x≤6）．
（1）当x为何值时，△MAN为等腰直角三角形？
（2）当x为何值时，有△MAN∽△ABC？
（3）爱动脑筋的小红同学在完成了以上联系后，对该问题作了深入的研究，她认为：在M、N的移动过程中（N不与D、A重合，M不与A、B重合），以A、M、C、N为顶点的四边形面积是一个常数．她的这种想法对吗？请说出理由．

提问时间：2021-01-07

答案

（1）依题意，x秒时，△MAN为等腰直角三角形
∴AM=2x（cm），AN=6-x（cm）
∴2x=6-x
∴x=2
∴x=2时，△MAN为等腰直角三角形．
（2）∵当△MAN∽△ABC时，

AM

AB

=

AN

BC

∴

2x

12

＝

6−x

6

∴x=3
∴当x=3时，△MAN∽△ABC．

（3）她的说法正确；连接CN，CM，
∵S_{四边形AMCN}=S_△ACN+S_△ACM=

1

2

•2x•6+

1

2

（6-x）•12=6x+36-6x=36（cm²）
S_矩形ABCD=12×6=72（cm²）
∴S_{四边形AMCN}=

1

2

S_矩形ABCD，是一个常数．