题目
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
提问时间:2021-01-05
答案
由于f(x)连续,则∫(0,x)tf(x-t)dt可导,
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u:x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得:f '(x)可导
(1)两边再求导得:f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为:r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为:C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为:y*=axe^x
代入微分方程解得:a=1/2
因此微分方程通解为:f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得:f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u:x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得:f '(x)可导
(1)两边再求导得:f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为:r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为:C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为:y*=axe^x
代入微分方程解得:a=1/2
因此微分方程通解为:f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得:f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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