题目

高中二次函数和不等式综合问题
已知a+b+c的绝对值≤1,a-b+c的绝对值≤1,a的绝对值≤1,证明：对于一切x∈[-1,1],都有Ax方+Bx+C的绝对值≤2
-b/(2a)范围的确定有一些问题
y=(-b方+4ac)/(4a) 不理解

提问时间：2021-01-05

答案

证明对于一切x∈[-1,1],都有Ax方+Bx+C的绝对值≤2
即证方程Ax方+Bx+C的绝对值在x∈[-1,1]的值≤2
对于这样的抛物线,最值可能出现在端点和极值点.
先算端点
当x＝1时代入＝a+b+c的绝对值 由题意小于等于1
当x＝－1时＝a-b+c的绝对值 由题意小于等于1
接下来是极值点,即当x＝-b/(2a)时
若在极值点出现最值,则x＝-b/(2a)必须在【-1,1】
所以-b/(2a)在－1和1之间
因为x＝-b/(2a)时y=(-b+4ac)/(4a)
显然-b/(2a)在－1和1之间则-b/(4a)也属于【-1,1】
至于4ac/4a=c的范围
由
a+b+c的绝对值≤1 （1）
a-b+c的绝对值≤1 （2）
得出（（a+b+c）－（a-b+c））的绝对值≤2
得c的绝对值小于1
所以对于一切x∈[-1,1],都有Ax方+Bx+C的绝对值≤2
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若对称轴-b/(2a)在-1左边或1右边,则最值只能在-1和1,
对称轴-b/(2a)在-1和1之间时最值才在-1,1和-b/(2a)这三个x对应的点!
y=(-b方+4ac)/(4a) 不理解?
这个是将对称轴x=-b/(2a)代入方程Ax方+Bx+C求得的y值