题目
空间向量的数量积
若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),求证a点乘b=x1x2+y1y2+z1z2.
若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),求证a点乘b=x1x2+y1y2+z1z2.
提问时间:2021-01-05
答案
这个证明和平面一样.首先有一个基本结论:空间向量数量积满足分配律a·(b+c)=a·b+a·c
设空间向量三个单位正交基为i、j、k向量(单位正交基的概念应该清楚吧,就是x、y、z轴正方向的三个单位向量)
a=(x1,y1,z1)实际上就是a=x1 i+y1 j+z1 k
b=(x2,y2,z2)实际上就是b=x2 i+y2 j+z2 k
a·b=(x1 i+y1 j+z1 k)·(x2 i+y2 j+z2 k)用上面讨论的分配律展开,注意三个单位正交基互相点乘是0(因为它们互相垂直),自己和自己点乘是1(因为是单位向量).
可得a·b=x1x2+y1y2+z1z2
设空间向量三个单位正交基为i、j、k向量(单位正交基的概念应该清楚吧,就是x、y、z轴正方向的三个单位向量)
a=(x1,y1,z1)实际上就是a=x1 i+y1 j+z1 k
b=(x2,y2,z2)实际上就是b=x2 i+y2 j+z2 k
a·b=(x1 i+y1 j+z1 k)·(x2 i+y2 j+z2 k)用上面讨论的分配律展开,注意三个单位正交基互相点乘是0(因为它们互相垂直),自己和自己点乘是1(因为是单位向量).
可得a·b=x1x2+y1y2+z1z2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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