题目

已知各项均为正数的数列{an},对于任意正整数n,点（an,sn）在直线y＝1/2（x2＋x）上.求证：数列{an}是等差数列.

提问时间：2021-01-05

答案

∵点（an,sn）在直线y＝1/2（x2＋x）上 ∴Sn=1/2（an^2＋an） ∴an=Sn-S(n-1)=1/2（an^2＋an）-1/2（a[n-1]^2＋a[n-1]） 即1/2（an^2-an）-1/2（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0 即（an^2-an）-（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0即（an^2-a[n-1]^2）-（a[n-1]+an）=0 即（a[n-1]+an）（an-a[n-1]-1）=0 （n≥2） 又∵{an}各项均为正数的数列 ∴an+a[n-1]≠0 ∴an-a[n-1]-1=0即an-a[n-1]=1=d a1=S1=1/2（a1^2+a1）解得a1=1 ∴an=a1+（n-1）d=n(n≥2)又a1满足an=n ∴综上an=n 为等差数列