题目

2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2
要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··

提问时间：2021-01-03

答案

题目错了 应该是垂心到外心
这题第一反应是计算 算出d和三角形的关系然后代入a2+b2+c2+d2检验,不过这样会发现d其实不大好看（因为确定d我是用重心垂心外心三点共线且分比1：2算的,垂心外心距离就直接拿对着某条边作垂线平行线然后勾股定理）
另一个想法就是向量了,
设ABC外心O垂心H,则OH=OA+OB+OC（这里指的都是向量 下同）（这一点可以直接计算(OH-OA)*(OB-OC)=0等验证,换言之你可以先做出这么一个H再说他是垂心） 那么AB²+AC²+BC²+OH²=(OA-OB)²+(OA-OC)²+(OB-OC)²+(OA+OB+OC)²=3（OA²+OB²+OC²）=9R²