题目

f（x）=sqr（x^2-2x+2)+sqr(x^2-4x+8)最小值
答案是sqr10

提问时间：2021-01-03

答案

太简单了,只是构造的问题你没搞清楚
f(x)=√(x^2-2x+2)+√(x^2-4x+8)
=√[(x-1)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2]
由上述构造可以理解为
点P(x,0)到点A(1,1)与点B(2,2)距离和
做A关于x轴的对称点A'(1,-1)
则A'B的长度为√10,这就是函数f(x)的最小值
至于原因很简单,P点到A,B两点的距离和的最值不易求出,但是如果将A对称后的到的点A',PA的长度其实和PA'的长度是相等的,这样就转化为P到A',B两点的距离和,由于P在x轴上,则可以发现A'和B点的距离最短时就是两者的连线,所谓两点之间直线段最短.
另外此时可以求得P点为(4/3,0)
此时最小值f(x)为√10