题目

数学题高二上复习参考题； 已知a,b,c是不全相等的正数,求证 2（a^3+b^+c^3)＞a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

提问时间：2021-01-03

答案

最简单地方法：
利用均值不等式
a^3+a^3+b^3>=3a^2b,a^3+a^3+c^3>=3a^2c,相加得4a^3+b^3+c^3>=3a^2(b+c).同理可得4b^3+a^3+c^3>=3b^2(a+c).4c^3+b^3+a^3>=3c^2(b+a).
以上三式相加,再约去3就行了
方法2.先证明：a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
因为：
(a^3 + b^3) - (a^2b + ab^2)
= a^2 * (a-b) - b^2 * (a-b)
= (a^2 - b^2) (a - b)
= (a + b)(a - b)^2
>= 0
所以：a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
（取等号的条件是 a = b）
同理：
a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
a^3 + c^3 >= a^2c + ac^2
b^3 + c^3 >= b^2c + bc^2
三式相加,得：
2(a3+b3+c3) >= a2(b+c) + b2(a+c) + c2(a+b)
取等号的条件是 a = b = c
但题目中,a、b、c不全相等,所以：
2(a3+b3+c3) > a2(b+c) + b2(a+c) + c2(a+b)