题目

有一项工作，由甲、乙合作完成，工作一段时间后，甲改进了技术，提高了工作效率．设甲的工作量为y_甲（件），乙的工作量为y_乙（件），甲、乙合作完成的工作量为y（件），工作时间为x（时）．y与x之间的部分函数图象如图①所示，y_乙与x之间的部分函数图象如图②所示．

（1）分别求出甲2小时、6小时的工作量．
（2）当0≤x≤6时，在图②中画出y_甲与x的函数图象，并求出y_甲与x之间的函数关系式．
（3）求工作几小时，甲、乙完成的工作量相等．
（4）若6小时后，甲保持第6小时的工作效率，乙改进了技术，提高了工作效率．当x=8时，甲、乙之间的工作量相差30件，求乙提高工作效率后平均每小时做多少件．

提问时间：2021-01-03

答案

（1）由图②知乙每小时完成：180÷6=30（件），
∴乙2小时的工作量为：30×2=60（件），6小时的工作量为：6×30=180（件），
∴甲2小时的工作量为：100-60=40（件），6小时的工作量为：380-180=200（件），
∴甲2小时、6小时的工作量分别为40件，200件；
（2）如图所示，
∴当0≤x≤2时，设y=kx（k≠0），
将（2，40）代入y=kx，
得：2k=40，
解得：k=20，
∴y_甲=20x；
当2＜x≤6时，设y=ax+b（a≠0），
将（2，40）与（6，200）代入得：

2a+b＝40 6a+b＝200

，
解得：

a＝40 b＝−40

∴y_甲=40x-40．
∴y_甲与x之间的函数关系式为：y_甲=

20x    (0≤x≤2) 40x−40  (2＜x≤6)

；
（3）当甲乙工作量相等时，40x-40=30x，
∴x=4；
∴工作4小时，甲、乙完成的工作量相等；
（4）设提高效率后，乙每小时做m个零件，
∴280-（180+2m）=30或（180+2m）-280=30，
∴m=35或65．
∴乙提高工作效率后平均每小时做35或65件．

（1）首先由图②求得乙的工作效率与乙2小时、6小时的工作量，然后由①求得甲2小时、6小时的工作量；
（2）注意y_甲与x之间的函数是分段函数，当0≤x≤2时，是正比例函数，当2＜x≤6时，是一次函数，利用待定系数法即可求得y_甲与x之间的函数关系式；
（3）由函数解析式与图象可得当40x-40=30x时，甲、乙完成的工作量相等，解方程解可求得答案；
（4）首先设提高效率后，乙每小时做m个零件，根据题意可得：280-（180+2m）=30或（180+2m）-280=30，然后解方程即可求得乙提高工作效率后平均每小时做的件数．

本题考点：一次函数的应用．

考点点评：此题考查了一次函数的实际应用．解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．