题目

设命题p：∃x∈R，x²+2ax-a=0．命题q：∀x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-01-03

答案

∵∃x∈R，x²+2ax-a=0．
∴方程x²+2ax-a=0有解
∴△=4a²+4a≥0即a≥0或a≤-1
∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1
∵∀x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1
∴（a+2）x²+4x+a-1≥0在R上恒城立
∴显然a=-2时不恒成立，因此有

a+2＞0 △＝16−4(a+2)(a−1)≤0

，
解得a≥2，
∴命题q为真时a的范围为a≥2．
又∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题
∴p与q是一个为真一个为假
所以a∈（-∞，-1]∪[0，2）
所以实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，2）．

∃x∈R，x²+2ax-a=0，∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1．∀x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1，∴命题q为真时a的范围为a≥2或a≤-2．∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题∴p与q是一个为真一个为假．所以a∈（-2，-1]∪[0，2）

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：解决此类问题的关键是先求出命题为真时实数a的范围，并求出命题为假时a的范围，然后根据复合命题真假作出判断．