题目

在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
解答中间有a^2+b^2

提问时间：2021-01-03

答案

这题最好不要用向量做.已经是必修五的内容了.
可以先根据题意画出图形.如下图,以城市O的位置为原点,以正东方向为x轴的正方向,以正北方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系.
假设经过t小时后,台风中心位置从P处转移到P′处,射线PP′交y轴于点A；经过点P作y轴的垂线,交y轴于点B；经过点P′作x轴的垂线,交直线PB于点C,交x轴于点D.
在RtΔOPB中,OP=300km,∠OPB=θ,cos∠OPB= BPOP ,
∴BP=OP cos∠OPB= OP cosθ=300×210 =302 (km).
∴OB = OP2-BP2 = 3002-(302) 2 = 2102 (km).
在RtΔPP′C中,PP′= 20t(km),∠P′PC=∠PP′C=450,
∴P′C = PC = 20t×22 =102t(km).
∴点P′的横坐标 = BP-PC = 302-102t；
点P′的纵坐标 = -（DC-P′C）= -(OB-P′C)=-( 2102 -102t).
连结OP′,则在RtΔDP′O中,
OP′2=OD2+DP′2=(302-102t)2 +(2102 -102t)2.
台风中心到达P′处,其影响区域的圆形半径增大到R=(60+10t)km.
∵若此时该城市O开始受到台风的侵袭,则点O在⊙P′上,OP′=R,
∴OP′2 = R2.
即
(302-102t)2 +(2102 -102t)2=(60+10t)2,
整理,得
t2 - 36t + 288 = 0.
解这个方程,得
t1 = 12,t2 = 24.
∵12＜24,
∴12小时后,该城市开始受到台风的侵袭.