题目

已知二次函数y=x^2+bx-c的图像过两点P(1,a) Q(2,10a)<1>如果a,b,c都是整数,且c已知二次函数y=x^2+bx-c的图像过两点P(1,a) Q(2,10a)
<1>如果a,b,c都是整数,且c<2>设二次函数y=x^2+bx-c的图像与x轴的交点为A,B,C与y轴交点为C,如果关于x的方程x^2+bx-c=0的两个根都是整数,求三角形ABC的面积

提问时间：2021-01-03

答案

分析：
（1）代入两点坐标,求得b、c（用a表示）,再由已知c＜b＜8a,联立不等式组求得a、b、c的值；
（2）设出程x2+bx-c=0的两个根,根据根与系数的关系与因式分解求得两根,得出函数解析式,进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．
点P（1,a）、Q（2,10a）在二次函数y=x2+bx-c的图象上,
故1+b-c=a,4+2b-c=10a,解得b=9a-3,c=8a-2；
（1）由c＜b＜8a知8a-2＜9a-3,9a-3＜8a,
解得1＜a＜3,
又a为整数,所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14；
（2）设m,n是方程的两个整数根,且m≤n．
由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,
消去a,得9mn-8（m+n）=-6,
两边同时乘以9,得81mn-72（m+n）=-54,分解因式,得（9m-8）（9n-8）=10．
所以9m-8=1,9n-8=10或
9m-8=-10,9n-8=-1或
9m-8=-5,9n-8=-2或
9m-8=2,9n-8=5,
解得m=1,n=2或m=-2/9,n=7/9或m=1/93,n=2/3或m=10/9,n=1/39；
又∵m,n是整数,所以后面三组解舍去,
故m=1,n=2．
因此,b=-（m+n）=-3,c=-mn=-2,
二次函数的解析式为y=x²-3x+2．
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0）,点C的坐标为（0,2）,
所以△ABC的面积为1/2×(2-1)×2=1．
点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．