题目

在数列{an}中,a1=1,且对任意的大于1的正整数n,点(根号an,根号an-1)在直线y=x-2n+1上
（1）求数列{an}的通项公式
(2)若b1+b2+……+bn=an,求数列{bn}的通项公式

提问时间：2021-01-03

答案

算术平方根有意义,an≥0,即数列各项均非负.
x=√an y=√a(n-1)代入直线方程
√a(n-1)=√an-2n+1
√an-√a(n-1)=2n -1
√a(n-1)-√a(n-2)=2(n-1)-1
…………
√a2-√a1=2×2-1
累加
√an -√a1=2(2+3+...+n) -(n-1)=2(1+2+...+n) -(n-1)-2=n²-1
√an=√a1+n²-1=1+n²-1=n²
an=n⁴
数列{an}的通项公式为an=n⁴
n=1时,b1=a1=1
n≥2时,
b1+b2+...+bn=an=n⁴ (1)
b1+b2+...+b(n-1)=a(n-1)=(n-1)⁴ (2)
(1)-(2)
bn=n⁴-(n-1)⁴=[n²+(n-1)²][n²-(n-1)²]
=(2n²-2n+1)(2n-1)
=4n³-6n²+4n-1
n=1时,b1=4-6+4-1=1,同样满足通项公式
数列{bn}的通项公式为bn=4n³-6n²+4n-1