题目

a的行列式=-1,则-1是a的特征值 a的行列式=-1,则-1是a的特征值 怎么证明
还有若n为奇数且a的行列式=1证1是a的特征值,
忘了说了a是n阶正交矩阵

提问时间：2021-01-03

答案

正交矩阵就对了.
（1）由于A是正交阵,(A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置,E表示单位阵.
那么：
A+E = A+A*(A^T) = A(E+A^T).
对上式两边取行列式：
|A+E| = |A(E+A^T)| = |A|*|E+A^T| = -|E+A^T|.
由于|E+A^T| = |[(E^T)+A]^T| = |E+A|.
将代入：
|A+E| = -|A+E|
所以|A+E|=0,即|A-(-1)E|=0,那么-1是A的特征值.
（2）解法跟（1）是一样的,（1）会了的话,（2）也应该会了.
由于A是正交阵,(A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置,I表示单位阵.
那么：
A-E = A-A*(A^T) = A(E-A^T).
对上式两边取行列式：
|A-E| = |A(E-A^T)| = |A|*|E-A^T| = |E-A^T|.
由于|E-A^T| = |[(E^T)-A]^T| = |E-A|.
将代入：
|A-E| = |E-A|.
又由于n为奇数,所以|E-A| = -|A-E|.
将代入：
所以|A-E|=0,即|A-1*E|=0,那么1是A的特征值.