题目

如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

提问时间：2021-01-03

答案

证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，
∵

PE⊥AB，PF⊥AC ∠PAE＝∠PAF PA＝PA

⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，
∵

PO⊥α AB⊂α

⇒AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE=P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

本题考点：三垂线定理．

考点点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．