题目

设x，y是非负整数，x+2y是5的倍数，x+y是3的倍数，且2x+y≥99，则7x+5y的最小值是______．

提问时间：2021-01-03

答案

设x+2y=5A，x+y=3B，A，B是整数，
∵x，y≥0，
∴A，B≥0，解得x=6B-5A，y=5A-3B，2x+y=9B-5A≥99，S=7x+5y=27B-10A，
∴题目变为：在整数A，B≥0，6B≥5A≥3B，9B≥5A+99，求S的最小值，
∵15A≥9B≥99+5A，
∴10A≥99，A≥10，
∴9B≥50+99=149，B≥17，
∴5A≥51，A≥11，进而9B≥55+99=154，B≥18，
若B≥19，则S=9B+2（9B-5A）≥9×19+2×99=369，
若B=18，则5A≤9B-99=63，A≤12，A只能为12或11，
其中A=12使S=27×18-10×12=366取最小值，且为唯一的情形，（此时x=48，y=6），
∴7x+5y的最小值=7×48+5×6=366．
故答案为：366．