题目

【高数】我们可以证明有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,
那为什么不能得出无限个无穷小的代数和仍是无穷小?怎么证明?

提问时间：2021-01-03

答案

因为比如我们知道lim(a_n + b_n) = lim a_n + lim b_n（两个数列的和的极限是它们极限的和）,这告诉我们两个无穷小的和仍是无穷小,因此任何有限个无穷小的和都是无穷小（要严格说的话,可以用归纳法,先把前两个加起来,再加第三个,一个一个加.有限次内加完）.
但是对无限个的和,没有任何结论（归纳法也不起作用）.
实际上求无限个东西的和,求法是先求部分和（前k项和）然后取极限（令k趋于无穷）.但是所谓一个无穷小,以数列为例,指的是一个数列{a_n},它满足lim a_n=0,这个极限过程是n趋于无穷.现在的问题就是如果要把无限个无穷小加起来,那么这个和的定义是先让k趋于无穷,再让n趋于无穷.这个顺序一般不能反过来：往往n趋于无穷的过程和k趋于无穷的过程是不能交换的.施加某些条件（比如“一致性”,你现在大概不关心）,才可以交换这两个极限的顺序.