题目

假设随机变量X服从参数为2的指数分布．证明：Y=1-e^-2X在区间（0，1）上服从均匀分布．

提问时间：2021-01-03

答案

证明：
设X的分布函数为F（X），Y的分布函数为G（Y），
∵X服从参数为2的指数分布，
∴X的分布函数为F(x)＝

1−e−2x ，x＞0 0 ，x≤0

，
又y=1-e^-2x在（0，1）是单调递增的函数，即0＜y＜1，且其反函数为：x＝−

1

2

ln(1−y)，
于是，Y=1-e^-2X在（0，1）的分布函数为：
G（Y）=P（Y≤y）=P（1-e^-2x≤y）=P(x≤−

1

2

ln(1−y))
=

0 ，y≤0 1−e(−2)[− 1 2 ln(1−y)] 0＜y＜1 1 y≥1

=

0 y≤1 y ，0＜y＜1 1 ，y≥1

这正是（0，1）区间上的均匀分布．

首先将随机变量X的分布函数写出来，然后根据分布函数的定义，写出Y的分布函数P（Y≤y），再将其转化为X的分布函数，即可证明．

本题考点：均匀分布；指数分布．

考点点评：此题考查随机变量分布函数的求法，常常需要先建立两个随机变量的分布函数之间的关系，再求解．