题目

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．
求证：AM=AN．

提问时间：2021-01-03

答案

证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C，
∴∠EAB=∠DAB，
∠EBA=∠DBA，
∵∠EBM=∠DBN，
∴∠MBA=∠NBA，
在△AMB和△ANB中，

∠EAB＝∠DAB AB＝AB ∠MBA＝∠NBA

，
∴△AMB≌△ANB（ASA），
∴AM=AN．

根据旋转的性质可得△AEB和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，再结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB和△ANB全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，等腰三角形三线合一的性质，证明边相等，通常利用证明两边所在的三角形全等进行证明．