题目

高一函数问题求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意β∈[0,π/2],恒有
（x+3+2sinβcosβ)+（x+asinβ+acosβ)≥1/8

提问时间：2021-01-03

答案

原不等式等价于(3+2sinθcosθ-asinθ+acosθ)≥1/4 x∈[0,π/2]……(1) 由(1)得a≥(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)……(2) 或者a≤(3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)……(3) 在(2)中,√2≥sinθ+cosθ≥1 (3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+3/[2(sinθ+cosθ)] 显然当1≤x≤√2时,f(x)=x+5/2x为减函数,从而上式最大值为f(x)=1+5/2=7/2.由此可得a≥7/2.在(3)中,由于 (3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+3/[2(sinθ+cosθ)] ≥2√(3/2)=√6.当且仅当sinA+cosA=√6/2时,等号成立,从而 (3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)最小值为√6.所以a≤√6.综上所述a≥7/2 或者 a≤√6.